ECUACIONES CUADRÁTICAS

El propósito es estudiar las ecuaciones que contienen como potencia mas alta de la incógnita, la segunda potencia.

Una ecuación de este tipo se llaman de segundo grado o cuadrática  conviene notar que, lo que caracteriza a una ecuación de segundo grado es que, la potencia máxima de la incógnita sea la segunda, independientemente del número de incógnitas. 

Las ecuaciones de segundo grado en las que aparecen la primera y la segunda potencia de la incógnita se llaman ecuaciones completas de segundo grado, mientras que las que solo contienen la segunda potencia de la incógnita se llaman ecuaciones simples de segundo grado.

Por ejemplo, 9x² + 6x + 10=0 es una ecuación completa de segundo grado, mientras que 3x²  - 9x=0 es una ecuación simple de segundo grado.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales. 

Ejemplo:

9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

3x²  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0

-6x ² + 10              a = -6, b = 0, c = 10 

Hay cuatro formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática 

4. Graficar

Factorización Simple:
 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

  Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8
 
(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²] 

 

( x +   )   (x  -   ) = 0

 
(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8



 
x + 4 = 0       x – 2 = 0


 
x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

 
Completando el Cuadrado:
  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

 

4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

 
x² + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.
 
Ejemplo:
x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]


 

x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x²  + 2x + 1 = 9
(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.
                                 Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.


 

( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±

 
x + 1 =  ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4


 
Fórmula Cuadrática:
 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

 

Ejemplo:
X² + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8



 

 


x = -2 ± 6
          2
X =  -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2

   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4

 Gráfica

Uno de los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas es la graficación, donde tenemos que encontrar la variable independiente (x) y la variable dependiente (y).

pero para hacer esto debemos primero de ubicar la ecuaciones cuadráticas:

Las ecuaciones de la forma axª + bx + c = 0,son las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas  toda ecuación de segundo grado en la que 

b = 0 es una ecuación cuadrática pura, la cual carece del termino de primer grado.

Los pasos para la solución de una ecuación cuadrática pura  (xª - 4= 0) son:

1. se despeja el termino de segundo grado : xª = 4

2. se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación : x = +/- 2 

    las raíces de la ecuación son . 2 y -2

   las raíces se identifican : x = -2, x = 2.

y al comprobarlas tanto x 1 como x 2 satisfacen la ecuación, son sus raíces:

                                                    x = -2: -2ª - 4 = 0

                                                           4  - 4 = 0

                                              x = 2: (2)ª - 4 = 0

                                                            4 - 4 = 0

Las ecuaciones de segundo grado que la c = 0 es una ecuación cuadrática mixta incompleta , la cual carece de termino independiente.

Los pasos para resolver la ecuación cuadrática mixta son:

1. se le da la forma axª + bx = 0

2. se descompone axª y bx en dos factores

3. se igualan a cero los dos factores

4. se resuelven las dos ecuaciones que se dan

5. la ecuación cuadrática mixta incompleta siempre tendrá raíz igual a cero.

y con esto se termina la explicación sobre la forma de resolver las ecuaciones cuadráticas puras y mixtas incompletas.

Elaborado por:
Canseco Manzano Julio Cesar
Franco Torres Lilian Marcela
López Pérez Zabdi Alexander
Pascual García Yenifer
Ramírez Salinas Francisca